2
GERBANG dan ALJABAR BOOLE



Konsep dasar aljabar Boole (Boolean Algebra) telah


diletakkan oleh
seorang matematisi Inggeris George Boole, pada tahun 1854. Konsep dasar itu
membutuhkan waktu yang cukup lama untuk disadari kegunaannya, baik dalam
bidang matematika maupun dalam bidang teknik.
Pada tahun 1938 Claude Shannon, seorang ahli komunikasi, memanfaatkan
dan menyempurnakan konsep Boole tersebut. Sekarang ini, aljabar Boole meme-
gang peranan yang sangat penting, tidak saja dalam logika, tetapi juga di bidang
lain seperti teori peluang/kemungkinan, teori informasi/komunikasi, teori
himpunan dan lain-lain. Teori ini juga dipakai dalam merancang komputer
elektronik dengan menerjemahkannya ke dalam rangkaian saklar (switching
circuits) yang pada dasarnya adalah logika, tertutup atau terbuka, mengalirkan
arus listrik atau tidak.


2.1 Gerbang Dasar dan Tabel Kebenaran
Harga peubah (variabel) logika, pada dasarnya hanya dua, yaitu benar (true)
atau salah (false). Dalam persamaan logika, umumnya simbol 1 dipakai untuk
menyatakan benar dan simbol 0 dipakai untuk untuk menyatakan salah. Dengan
memakai simbol ini, maka keadaan suatu logika hanya mempunyai dua kemung-
kinan, 1 dan 0. Kalau tidak 1, maka keadaan itu harus 0 dan kalau tidak 0 maka
keadaan itu harus 1.
Operasi yang paling mendasar dalam logika adalah penyangkalan dengan
kata-kata "tidak" (NOT). Jadi, "benar" adalah "tidak salah" dan "salah" ada-
lah "tidak benar". Operasi ini dikenal secara umum dengan nama "inversion"
yang disimbolkan dengan garis di atas peubah yang disangkal ataupun tanda
petik (') di kanan-atas peubah itu. Dengan notasi ini, maka logika penyangkalan
dapat dituliskan sebagai :
1 = 0 dan 0 = 1 atau:
1’ = 0 dan
0’ = 1
Gerbang elektronik yang berfungsi menidakkan ini disebut gerbang NOT
dan sering juga disebut "inverter". Bila masukan gerbang NOT dinamakan A dan
keluarannya dinamakan Z, maka hubungan masukan dan keluaran itu dituliskan
sebagai:
Z = A atau

23
Z = A’
(2.1)



24


2.1 Gerbang Dasar dan Tabel Kebenaran

Karena masukan A hanya dapat berkeadaan 0 atau 1, maka Z juga hanya
dapat berkeadaan 1 atau 0. Keadaan keluaran Z untuk setiap keadaan
masukannya dapat ditunjukkan dalam bentuk tabel yang disebut "tabel
kebenaran" (truth table), yang sering juga disebut tabel kombinasi (combination
table), sebagai berikut:


Tabel Kebenaran NOT
A
0
1
Z= A
1
0



Dari pers. (2.1) di atas dapat dilihat, yang juga ditunjukkan dalam tabel
kebenaran di atas, bahwa fungsi Z berkeadaan 1 bila A berkeadaan 0. Perhatikan
juga bahwa fungsi dinyatakan untuk keadaan 1 dan peubah yang berkeadaan 0
di-NOT-kan (dikomplemenkan) untuk membuat Z = 1. Hal ini berlaku secara
umum dalam aljabar Boole dan untuk peubah yang aktif untuk tegangan 0 Volt
(rendah) sering diberi nama dengan garis komplemen diatasnya. Bentuk
keluaran suatu rangkaian logika dalam bentuk fungsi Boole dapat diperoleh
dengan mudah dari tabel kebenaran rangkaian logika yang bersangkutan. Tetapi
fungsi yang dihasilkan dari tabel kebenaran umumnya belumlah dalam bentuk
yang sederhana, yang membutuhkan gerbang yang paling sedikit, dan masih
perlu disederhanakan. Penyederhanaan ini akan dibahas dalam bab-bab
berikutnya.
Dua operasi yang paling mendasar lainnya dalam aljabar logika adalah ope-
rasi "DAN" (AND) dan operasi "ATAU" (OR). Gerbang elektronik yang mereali-
sasikan logika ini masing-masing diberi nama gerbang "AND" dan gerbang
"OR". Perlu ditegaskan kembali bahwa untuk logika positif yang dipakai
seterusnya dalam buku ini, 1 diartikan benar dan 0 diartikan salah dan secara
elektroniknya, 1 diartikan sebagai tegangan tinggi (paling umum adalah +5 Volt)
dan 0 diartikan sebagai tegangan rendah (0 Volt). Tegangan elektronik 0 - 5 Volt
ini dikenal sebagai level TTL, singkatan dari Transistor-Transistor Logic.
Untuk suatu gerbang OR dengan 2 masukan, katakanlah A dan B,
keluarannya akan benar (= 1) bila salah satu masukan A "atau" B adalah benar
dan keluaran itu akan salah (= 0) bila kedua masukan A dan B secara bersama-
sama salah. Untuk gerbang AND dengan dua masukan A dan B, keluarannya
akan benar hanya bila kedua masukannya A "DAN" B adalah benar dan salah
bila salah satu masukan itu salah. Keterangan ini ditunjukkan lebih jelas oleh



2.1 Gerbang Dasar dan Tabel

tabel kebenaran pada Gambar 2.1.


25


masukan

keluaran

masukan

keluaran
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Z= A+B
0
1
1
1
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Z= A.B
0
0
0
1
(a)
(b)


Gambar 2.1. Tabel-tabel kebenaran gerbang OR dan AND
(a) Gerbang OR: Z = A + B
(b) Gerbang AND: Z = A.B = AB


Dalam aljabar Boole, operasi yang dilakukan oleh gerbang OR disimbolkan
dengan operator "+" dan dibaca OR atau
"ATAU" dan
operasi AND
disimbolkan dengan operator "." dan dibaca AND atau "DAN". Tanda operator
"." sering dihilangkan saja dengan catatan bahwa tanpa ada operator lain
diartikan sebagai operasi AND. Seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.1, operasi
OR dan AND untuk dua peubah masukan dituliskan sebagai berikut :
OR
:
Z=A+B
(2.2)
AND :
Z = A.B = AB
(2.3)
Simbol yang umum dipakai dalam penyajian rangkaian logika untuk
gerbang OR dan AND, juga NOT, ditunjukkan pada Gambar 2.2.






A

A



(a)





A

Z
B
+
Z
B
Z
(b)

A
A



B


C
B
Z

(c)
B